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平方根教案
2.2 平方根(一)
教学目标：
(一)教学知识点
1.了解数的算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根.
2.了解求一个正数的算术平方根与平方是互逆的运算，会利用这个互逆运算关系求某些非负数的算术平方根.
3.了解算术平方根的性质.
(二)能力训练要求
1.加强概念形成过程的教学，提高学生的思维水平.
2.鼓励学生进行探索和交流，培养他们的创新意识和合作精神.
(三)情感与价值观要求
1.让学生积极参与教学活动，培养他们对数学的好奇心和求知欲.
2.训练学生动脑、动口、动手能力.
教学重点：
了解算术平方根的概念、性质，会用根号表示一个正数的算术平方根.
教学难点：
了解算术平方根的概念、性质.
教学过程：
Ⅰ.新课导入
上节课我们学习了无理数、了解到无理数产生的实际背景和引入
的必要性，掌握了无理数的概念，知道有理数和无理数的区别是：有理数是有限小数或无限循环小数，无理数是无限不循环小数.比如在a2=2中，2是有理数，而a是无理数.在前面我们学过若x2=a，则a叫x的平方，反过来x叫a的什么呢？本节课我们就来一起研究这个问题.
Ⅱ.讲授新课
［师］在讲新课之前，我们先回忆一下勾股定理，请同学们回答. ［生］勾股定理就是在直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方.
［师］下面请大家根据勾股定量，结合图形完成填空. 根据下图填空
x2=_________y2=_________z2=_________w2=______
___
［师］请大家思考后回答.
［生］x2=2,y2=3,z2=4,w2=5.
［师］请大家再分析一下，x，y，z，w中哪些是有理数？哪些是无理数？
［生］x，y，w是无理数，z是有理数.
［师］为什么呢？
［生］因为没有任何整数或分数的平方等于2，3，5，所以x，y，z不是有理数，而22=4，所以z=2.
［师］这位同学分析得非常正确，那么大家能不能把上图中的x，y，z，w表示出来呢？请大家仔细看书后回答.
［生］x=2,y=,z=4,w=.
［师］若一个正数x的平方等于a，即x2=a，则这个正数x就叫做a的算术平方根.记为“a”读作“根号a”.这就是算术平方根的定义.特别地规定0的算术平方根是0，即0=0.
［师］下面我们根据算术平方根的定义求一些数的算术平方根. ［例1］求下列各数的算术平方根：
(1)900；(2)1；(3)49；(4)14. 64
解：(1)因为302=900，所以900的算术平方根是30，即00=30；
(2)因为12=1，所以1的算术平方根是1，即=1；
(3)因为()27
849749497,所以的算术平方根是，即； 64864648
(4)14的算术平方根是.
通过上面的例题，大家思考一下，我们在求算术平方根时是借助于哪一种运算来求的？
［生］是通过平方来求的.
［师］对.由此我们可以看出一个正数的平方和求算术平方根是互为逆运算.而且我们在例题中的步骤采取语言叙述和符号表示互相补充的做法，目的是让大家明白算术平方根的概念，以及从计算中进一步体会一个正数的平方和求算术平方根是互为逆运算.在以后的步
骤中可以简化.
［例2］自由下落的物体的高度h(米)与下落时间t(秒)的关系为h=4.9t2.有一铁球从19.6米高的建筑物上自由下落，到达地面需要多长时间？
解：将h=19.6代入公式h=4.9t2得
t2=4,所以t=4=2(秒)
即铁球到达地面需要2秒.
［师］下面大家再观察一下刚才咱们求出的算术平方根有什么特点.
［生甲］算术平方根是整数或分数，即为有理数.
［生乙］不对，那是不是有理数？若是则是，分数还是整数？ ［生丙］因为没有任何一个整数或分数的平方等于14，所以不是有理数，而是无理数.
［师］大家的分析都有道理，我提示一下从符号方面考虑. ［生甲］噢，算术平方根是正数，如2,3,5,，2.
［生乙］不对，还有零呢.正数的算术平方根是正数，零的算术平方根为零.
［师］非常正确，那负数的算术平方根是否为负数呢？若(－2)2=4.则4=－2对吗？或者4=－2对吗？
［生甲］不对.因为算术平方根的定义是一个正数的x的平方等于a，这个正数x就叫做a的算术平方根，所以算术平方根不可能是负数.
［师］由此看来，定义中的a和x都为正数，即算术平方根是非负数，负数没有算术平方根.用式子表示为a(a≥0)为非负数，这是算术平方根的性质.
Ⅲ.课堂练习
(一)P32随堂练习1、2题.
(二)补充练习. 一、填空题
1.若一个数的算术平方根是5，则这个数是_________. 2.的算术平方根是_________.
3.正数_________的平方为1447,1的算术平方根为_________. 25949
4.(－1.44)2的算术平方根为_________. 5.的算术平方根为_________，0.04=_________
二、求下列各数的算术平方根，并用符号表示出来：
(1)(7.4)2；(2)(－3.9)2；(3)2.25；(4)2.
Ⅳ.课时小结
本节课学习了算术平方根的概念，理解了求一个正数的平方和求算术平方根是互为逆运算，求一个非零数的算术平方根，以及算术平方根的性质，即算术平方根是非负数.
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平方根的教学设计
一．学生学情分析
学生在七年级上册学习 “棋盘上的故事”就认识了一种运算 “乘方”,并能熟练计算任何一个数的平方.知道正数的平方是正数,负数的平方是正数,0的平方是0. 在八年级上册第二章《实数》的学习中又认识了算术平方根的概念和表示方法,已能求非负数的算术平方根.那么这一课时进一步学习平方根本节课是第二课时，继续学习平方根的概念及其运用.并对“平方根”和“算术平方根”，“平方”和“开平方”的概念做辨析，使学生在“引导---探索---类比----发现”中发展学习数学的能力.
二．学习任务分析
第二章《实数》的第二节.本节安排了两个课时完成.第一课时是了解数的算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根.在具体的例子中抽象出概念，发展学生的抽象概括能力.本节课是第二课时，继续学习平方根的概念及其运用.并对“平方根”和“算术平方根”，“平方”和“开平方”的概念做辨析，使学生在“引导---探索---类比----发现”中发展学习数学的能力.
三．学习目标
知识目标
1.了解平方根、 开平方的概念.
2.明确算术平方根与平方根的区别和联系.
3.进一步明确平方与开平方是互逆的运算关系.
能力目标
1.经历平方根概念的形成过程,让学生不仅掌握概念,而且提高和巩固所学知识的应用能力.
2.培养学生求同与求异的思维,通过比较提高思考问题、辨析问题的能力.
情感目标
1.在学习中互相帮助、交流、合作、培养团队的精神.
2.在学习的过程中,培养学生严谨的科学态度.
四.重点、难点
重点：
1.了解平方根开、平方根的概念.
2.了解开方与乘方是互逆的运算,会利用这个互逆运算关系求某些非负数的算术平方
根和平方根.
3.了解平方根与算术平方根的区别与联系.
难点：
1. 平方根与算术平方根的区别和联系.
2. 负数没有平方根,即负数不能进行平方根的运算.
五．学习方法
自主 合作 探究
六．课前准备
完成导学稿
七．学习过程设计
需要3分钟
检查学生完成情况（方式一：组长检查，对答案）
（方式二：教师经行抽查，找出典型的问题经行讲解）
（一）．自学范围：请自学教材第69页至第72页；
（二）
1. 0.64
；
2. (6)2
3. 25分钟
2（一）1.因5225，所以25 5 ；所以366 ；所以25 636，（用 “>”﹑ “<”“=”填空) 222.因121，所以 1<2< ；因1.421.96，所以1.4<2< ； 1.52.25，24，
3.算术平方根的估算：小组展示（一位组长展示，让其他学生思考找能不能用其他方法比较大小）再在课堂上展示
比较大小：51
2与0.
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（二）算术平方根的平方：
（1） 的平方等于3； （2）比较大小：23与32；
平方根与算术平方根的联系与区别：
联系：1.包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种.
2.只有非负数才有平方根和算术平方根.
3. 0的平方根是0，算术平方根也是0.
区别：1.个数不同：一个正数有两个平方根，但只有一个算术平方根.
2.表示法不同：平方根表示为 a ，而算术平方根表示为a
分钟检测， 为了让学生对新知巩固,我增加了课堂检测，围绕“平方根”这一知识点进行各种题型的变式练习.
1 ．下列说法正确的是
①3平方根；②25的平方根是5；③-36的平方根是-6；④平方根等于0的数是0；⑤64的平方根是8．
2．下列说法不正确的是( ) ．
(A)0的平方根是0 (B)22的平方根是2
(C)非负数的平方根是互为相反数 (D)一个正数的算术平方根一定大于这个数的相反数
3. 已知一个自然数的算术平方根是a，则该自然数的下一个自然数的算术平方根是（ ）．
(A) a+1
(B)
4. 指出下列各数的算术平方根: 4
5. 面积为9的正方形，边长＝ ；面积为7的正方形，边长＝ ； 1 (C) a+1
2(1)0.04 (2)6
6.比较大小： 3
8与1
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本节小结
作业布置
习题2．４
课堂学习设计反思
本节课是八年级上册第二章《平方根》的第二课时.
（1）鼓励学生进行探究和交流 本节课为学生提供了有趣而富有数学含义的问题，让学生进行充分的探索和交流.
（2）设计之中多处运用类比的方法，使学生清楚新旧知识的区别和联系.类比概念：“平方根”和“算术平方根”的区别和联系，“平方”和“开平方”运算.
（3 ）根据学生实际，灵活使用教材
为了让学生对新知巩固,我增加了课堂检测，围绕“平方根”这一知识点进行各种题型的变式练习. 当然，选题要有层次,有梯度.老师们在进行教学时可以根据学生的实际情况作适当的取舍.
11.1.1平方根教案
单位：安岭四中 班级：八 姓名：
（1） 薛慧娟
2015年9月2
薛慧娟
11.1.1 平方根
一、教学目标：
知识与技能目标：
1．知道平方根的概念，能熟练地求出一个正数的平方根。
2．能描述平方根的特征，理解开方与乘方两者之间的联系与区别。
过程与方法目标：
让学生在观察、探索等活动中，获得对非负数的平方根特点的认识。
情感与态度目标：
1.学生积极参与数学活动，培养其对数学的好奇心与求知欲。
2.过数学活动，使学生获得成功的体验，并形成实事求是的态度。
二、教学重、难点：
重点：对平方根概念的描述与刻画
难点：对平方根性质的探索
三、学情分析：
知识背景:学生已经学会了乘方运算.
能力背景:能借助乘方运算解决其逆运算-----开平方
预测目标:1.能熟练地求一个正数的平方根.
2.知道乘方与开方的联系与区别
四、教具准备： 多媒体
五、教学过程：
（一）创设情景，引入新课
师：小明到装饰城购买瓷砖，老板给了他一块面积为4dm2的正方形瓷砖，聪明的你能告诉小明这块瓷砖的边长吗？若面积为5 dm2 ，则边长为多少呢？（幻灯片显示）
(二)实践探索,揭示新知:
1.平方根的定义(幻灯片显示)
一般地,如果一个数的平方根等于a,那么这个数叫做a的平方根,也称为二次方根.也就是说,如果x2=a,那么x叫做a的平方根. 例如:22=4,(-2)2=4,±2叫做4的平方根
32=9,(-3)2=9,±3叫做9的平方根
2.探索平方根的性质:
a.看一看 :观察下面的式子: (幻灯片显示)
① 12=1, (-1)2=1
② 0.52=0.25, (-0.5)2=0.25
③ ()2=, (-)2=
(1)请你写出一个与上面式子类同的式子;
(2)你发现了什么结论?
生1:互为相反数的两个数的平方相等.
生2:平方等于同一个数的数有两个,它们互为相反数.
生3:±1都是1的平方根
生4:一个正数的平方根有2个,一个正的,一个负的,并且互为相反数. 一个正数a有两个平方根,它们互为相反数.
(在学生的交流与探索之中,思维的火花不断绽放,逐渐地点出了新知.)
b.介绍平方根的表示方法: (幻灯片显示)
一个正数a有两个平方根,它们互为相反数。正数a的正的平方根,记作“a”，正数a的负的平方根,记作“-a”，这两个平方根合在一起记作“±”。
c. 想一想
在下列各括号中,能填写适当的数使等式成立吗?如果能够,请填写;如果不能,请说明理由,并与同学交流.
① ( )2=9 ( )2=25 ( )2=
② ( )2=2 ( )2=3 ( )2=0
③ ( )2=-2
（对于 ① 学生在较短的时间内很顺利地做完了；② ③ 较① 有一定的难度，有一部分的学生通过指点也能做出。通过以上的一组1413191319
题目的讨论与交流，学生自然得出了平方根的性质。顺便提出开平方的定义，并作友情提醒。）
平方根的性质：
一个正数a有两个平方根,它们互为相反数.
0只有一个平方根，它是0本身；
负数没有平方根
（三）尝试应用，反馈矫正
考考你：判断下面的说法是否正确：（幻灯片出示题目）
1．-5是25的平方根；
2．25的平方根是-5；
3．0的平方根是0
4．1的平方根是1
5．（-3）2的平方根是-3
（让学生思考并说出错误的理由）
（四）归纳小结：
1、说说你对平方根的理解？
2、开平方运算与平方运算有什么联系？有什么区别？
课后反思：
数学课程标准要求（以下简称标准）“学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，”，基于这个原因，本节课的情景没有直接采用课本上的情景，而换用生活中的“已知正方形瓷砖的面积，如何求它的边长”入手，让学生去“亲近”数学，感觉到数学的“现实性”，体会数学的应用价值，这样能使学生愿意并乐意去学习数学。“教师是学生数学活动的组织者、引导者与合作者”（标准），基于这个原因，通过“看一看”、“想一想”、“考考你”这些环节突破了本节课的难点，这也体现了标准的思想。不过，在本节课中也存在许多不足的地方，如探讨问题的时间不太充分、讨论的问题不太深刻。
对于数学课堂教学，我们教师要时刻关注学生的参与程度、合作交流的意识、情感、态度的发展以及对问题探讨的深度与广度等，例如在探讨一个数的平方根时，学生就提出了“2是什么数”的问题，对于出现这种情况，作为老师这是意料之中的情况，但是从学生的角度这就足以说明学生是在“数学地”思考问题，所以在设计同一个问题时，教师要设计不同层次的问题，力求每一个学生都“有题可答”，真正意义上让每一个学生都能得到不同程度的发展,培养其学习数学的自信心.
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