分式的教案

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分式的教案

　　作为一名默默奉献的教育工作者，就难以避免地要准备教案，通过教案准备可以更好地根据具体情况对教学进程做适当的必要的调整。写教案需要注意哪些格式呢？下面是小编整理的分式的教案，欢迎大家分享。

分式的教案

分式的教案1

　　教学目标

　　1。知识与技能

　　能应用所学的函数知识解决现实生活中的问题，会建构函数“模型”。

　　2。过程与方法

　　经历探索一次函数的应用问题，发展抽象思维。

　　3。情感、态度与价值观

　　培养变量与对应的思想，形成良好的函数观点，体会一次函数的应用价值。

　　重、难点与关键

　　1。重点：一次函数的应用。

　　2。难点：一次函数的.应用。

　　3。关键：从数形结合分析思路入手，提升应用思维。

　　教学方法

　　采用“讲练结合”的教学方法，让学生逐步地熟悉一次函数的应用。

　　教学过程

　　一、范例点击，应用所学

　　例5、小芳以200米/分的速度起跑后，先匀加速跑5分，每分提高速度20米/分，又匀速跑10分，试写出这段时间里她的跑步速度y（单位：米/分）随跑步时间x（单位：分）变化的函数关系式，并画出函数图象。

　　例6、A城有肥料200吨，B城有肥料300吨，现要把这些肥料全部运往C、D两乡。从A城往C、D两乡运肥料的费用分别为每吨20元和25元；从B城往C、D两乡运肥料的费用分别为每吨15元和24元，现C乡需要肥料240吨，D乡需要肥料260吨，怎样调运总运费最少？

　　解：设总运费为y元，A城往运C乡的肥料量为x吨，则运往D乡的肥料量为（200—x）吨。B城运往C、D乡的肥料量分别为（240—x）吨与（60+x）吨。y与x的关系式为：y=20x+25（200—x）+15（240—x）+24（60+x），即y=4x+10040（0≤x≤200）。

　　由图象可看出：当x=0时，y有最小值10040，因此，从A城运往C乡0吨，运往D乡200吨；从B城运往C乡240吨，运往D乡60吨，此时总运费最少，总运费最小值为10040元。

　　拓展：若A城有肥料300吨，B城有肥料200吨，其他条件不变，又应怎样调运？

　　二、随堂练习，巩固深化

　　课本P119练习。

　　三、课堂总结，发展潜能

　　由学生自我评价本节课的表现。

　　四、布置作业，专题突破

　　课本P120习题14。2第9，10，11题。

分式的教案2

　　一、目标要求

　　1．理解掌握分式的四则混合运算的顺序。

　　2．能正确熟练地进行分式的加、减、乘、除混合运算。

　　二、重点难点

　　重点：分式的加、减、乘、除混合运算的顺序。

　　难点：分式的加、减、乘、除混合运算。

　　分式的加、减、乘、除混合运算的顺序是先进行乘、除运算，再进行加、减运算，遇有括号，先算括号内的`。

　　三、解题方法指导

　　【例1】计算：（1）[＋＋(＋)]·；

　　（2）(x－y－)(x＋y－)÷[3(x＋y)－]。

　　分析：分式的四则混合运算要注意运算顺序及括号的关系。

　　解：（1）原式=[＋＋]·=[＋＋]·=·==。

　　（2）原式=·÷=··=y－x。

　　【例2】计算：（1）(－＋)·(a3－b3)；

　　（2）(－)÷。

　　解：（1）原式=－＋=－＋ab

　　=a2＋ab＋b2－(a2－b2)－ab

　　=a2＋ab＋b2－a2＋b2－ab=2b2。

　　（2）原式=[－]·=－=－====。

　　说明：分式的加、减、乘、除混合运算注意以下几点：

　　（1）一般按分式的运算顺序法则进行计算，但恰当地使用运算律会使运算简便。

　　（2）要随时注意分子、分母可进行因式分解的式子，以备约分或通分时备用，可避免运算烦琐。

　　（3）注意括号的“添”或“去”、“变大”与“变小”。

　　（4）结果要化为最简分式。

　　四、激活思维训练

　　▲知识点：求分式的值

　　【例】已知x＋=3，求下列各式的值：

分式的教案3

　　一．教学课题：解分式方程微教案

　　二．教学目标：

　　【知识技能】：

　　1.理解分式方程的意义

　　2.了解解分式方程的基本思路和解法3．理解解分式方程时，可能无解的原因，并掌握解分式方程的验根方法

　　【过程与方法】：经历“实际问题——分式方程——整式方程”的过程，发展学生分析问题，解决问题的能力，渗透数学的转化思想，培养学生的应用意识。

　　【情感态度与价值观】：培养学生努力寻找解决问题的进取心，体会数学的应用价值。

　　三．教学重难点：

　　【教学重点】：解分式方程的基本思路和解法

　　【教学难点】：理解解分式方程时可能无解的原因四．教材内容分析：本节课学生已掌握简单的整式方程的解法（一元一次方程及二元一次方程组），学习过分式的四则运算。这节课是分式方程的起始课，要求能从实际的生活情境中抽象出分式方程的概念，主要研究分式方程及其解法，分式方程与整式方程在概念上是不同的，但他们在解法上却有着一定的联系和区别，即分式方程最终要转化为整式方程来解，但最后要验根这是学生最容易忘记的，所以教学中要强调。四．学情分析：本节课是在学生学习了分式及运算后学习分式方程，充分体现了分式方程与分式的联系及分式方程与整式方程的区别，让学生体会分式方程也是解决实际问题的重要手段。五、教学过程：环节一.创设情景，引入新课问题：一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？

　　1.这个问题中给出了哪些信息，等量关系是什么？

　　2.设江水的流速为V千米/时轮船顺流航行速度为XXX千米/时,逆流航行速度为XXX千米/时,顺流航行100千米所用时间为X小时,XXX逆流航行60千米所用时间为XXX小时,列方程XXX

　　【师生行为】：教师提出问题，学生思考回答，在活动中教师关注：（1）学生能否将实际问题转化为数学问题（2）不同层次学生对实际问题抽象出数学模型的掌握情况。

　　【设计意图】通过实际中的行程问题，引导学生从分析入手，列出含未知数的式子表示有关量，并列出方程，引发学生学习兴趣，提出问题引发思考，为探索分式方程及分式方程的解法作准备，自然引出学习课题。

　　1.问题:

　　(1)方程与以前所学的整式方程有何不同？

　　(2)满足什么特点的方程叫分式方程？

　　板书：像这样分母中含有未知数的方程，叫做分式方程。归纳：确定是不是分式方程，主要是看是否符合分式方程的概念，方程的分母中含有未知数，像这样的方程才属于分式方程。

　　2.练习

　　【设计意图】：通过让学生自己举例及判断哪些方程是分式方程，及时归纳总结，巩固所学知识既然我们已经清楚了什么样的方程是分式方程，那么分式方程你会解吗？让我们来看这样一题：如何解分式方程呢？

　　【教师提出问题】：

　　1.这样的方程你以前解过吗？

　　2.你以前解过什么方程？

　　3.那你能不能把这个方程转化为你会解的方程即整式方程呢？

　　4.怎么转化呢？

　　【师生行为】：教师提出问题，学生思考,讨论后在全班交流探究结果。教师在活动中关注:学生能否观察出分式方程与整式方程的区别学生是否有利用“转化思想”解决问题的意识学生是否在参与合作交流的活动中获取知识，学生是否从多角度来研究分式方程的解法。

　　【设计意图】：主要让学生运用“转化思想”探讨解分式方程的方法，鼓励学生从多角度思考问题，解释所获得结果的合理性，培养学生的发散思维。

　　环节三.应用迁移，巩固提高问题:（1）解分式方程：上面两个方程中,为什么去分母后所得整式方程的解是它的解,而去分母所得整式方程的解却不是它的解呢?（3）探究:分式方程无解的'原因是什么？(分式方程去分母后的整式方程的解代入原分式方程分母中,分母为0无意义,所以分式方程无解)（4）探究:如何检验分式方程的解?1.直接代入原方程(计算量大,很少用)2.间接代入最简公分母(常用检验方法)

　　【设计意图】：主要让学生通过自己探索实践,找出分式方程无解的原因及验根的必要性.学生在教学活动中通过积极参与和有效参与,来达到知识与能力、过程和方法、情感态度与价值观的全面落实。

　　环节四. 总结反思，拓展升华探究:解分式方程基本思路是什么？有哪些步骤？每一步的目的是什么？解分式方程的基本思路是：分式方程通过去分母转化成整式方程。步骤：

　　步骤目的１．去分母（关键找最简公分母）将分式方程转化为整式方程２．解这个整式方程得到整式方程的解３．检验(代入最简公分母看是否为0,为0增根)舍去增根４．写出最终结果得到原方程的解

　　口诀：一化二解三检验四作答

　　【设计意图】：通过探究，引发学生的思考，让学生在自主探究合作交流中归纳总结解分式方程的基本思路和步骤，在合作交流中获得成功的快乐。

分式的教案4

　　一、目标要求

　　1．理解掌握异分母分式加减法法则。

　　2．能正确熟练地进行异分母分式的加减运算。

　　二、重点难点

　　重点：异分母分式的加减法法则及其运用。

　　难点：正确确定最简公分母和灵活运用法则。

　　1．异分母分式的加减法法则：异分母分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减。用式子表示为：±=。

　　2．分式通分时，要注意几点：（1）如果各分母的系数都是整数时通分，常取它们的系数的最小公倍数，作为最简公分母的系数；（2）若分母的系数不是整数时，先用分式的基本性质将其化为整数，再求最小公倍数；（3）分母的系数若是负数时，应利用符号法则，把负号提取到分式前面；（4）若分母是多项式时，先按某一字母顺序排列，然后再进行因式分解，再确定最简公分母。

　　三、解题方法指导

　　【例1】计算：（1）＋＋；

　　（2）－x－1；

　　（3）－－。

　　分析：（1）把分母的各多项式按x的降幂排列，能先分解因式的将其分解因式，找最简公分母，转化为同分母的分式加减法。（2）一个整式与一个分式相加减，应把这个整式看作一个分母是1的`式子来进行通分，注意－x－1=，要注意负号问题。

　　解：（1）原式=－＋=－＋====；

　　（2）原式======；

　　（3）原式=－－===。

　　【例2】计算：。＋＋＋。

　　分析：此题若将4个分式同时通分，分子将是很复杂的，计算也是比较复杂的。各式的分母适用于平方差公式，所以采取分步通分的方法进行加减。

　　解：原式=＋＋=＋＋=＋=＋==。

　　四、激活思维训练

　　▲知识点：异分母分式的加减

　　【例】计算：－＋。

　　分析：此题如果直接通分，运算势必十分复杂。当各分子的次数大于或等于分母的次数时，可利用多项式的除法，将其分离为整式部分与分式部分的和，再加减会使运算简便。

　　解：原式=[x+2－]－[x+3+]

　　＋[＋1]

　　=x+2－－x－3－＋＋1

　　=－－＋=====。

　　五、基础知识检测

　　1．填空题：

分式的教案5

　　教学任务分析

　　教学目标

　　知识技能

　　一、类比同分母分数的加减，熟练掌握同分母分式的加减运算．

　　二、类比异分母分数的加减及通分过程，熟练掌握异分母分式的加减及通分过程与方法．

　　数学思考

　　在分式的加减运算中，体验知识的化归联系和思维灵活性，培养学生整体思考的分析问题能力．

　　解决问题

　　一、会进行同分母和异分母分式的加减运算．

　　二、会解决与分式的加减有关的简单实际问题．

　　三、能进行分式的加、剪、乘、除、乘方的混合运算．

　　情感态度

　　通过师生活动、学生自我探究，让学生充分参与到数学学习的过程中来，使学生在整体思考中开阔视野，养成良好品德，渗透化归对立统一的辩证观点．

　　重点

　　分式的加减法．

　　难点

　　异分母分式的加减法及简单的分式混合运算．

　　教学流程安排

　　活动流程图

　　活动内容和目的

　　活动１：问题引入

　　活动２：学习同分母分式的加减

　　活动３：探究异分母分式的加减

　　活动４：发现分式加减运算法则

　　活动５：巩固练习、总结、作业

　　向学生提出两个实际问题，使学生体会学习分式加减的必要性及迫切性，创始问题情境，激发学生的学习热情．

　　类比同分母分数的加减，让学生归纳同分母分式的加减的方法并进行简单运算．

　　回忆异分母分数的加减，使学生归纳异分母分式的加减的方法．

　　通过以上探究过程，让学生发现分式加减运算的法则，通过分式在物理学的应用及简单混合运算，使学生深化对分式加减运算法则的理解．

　　通过练习、作业进一步巩固分式的运算．

　　课前准备

　　教具

　　学具

　　补充材料

　　课件

　　教学过程设计

　　问题与情境

　　师生行为

　　设计意图

　　［活动１］

　　1．问题一：比较电脑与手抄的录入时间．

　　2．问题二；帮帮小明算算时间

　　所需时间为，

　　如何求出的值？

　　3．这里用到了分式的加减，提出本节课的主题．

　　教师通过课件展示问题．学生积极动脑解决问题，提出困惑：

　　分式如何进行加减？

　　通过实际问题中要用到分式的加减，从而提出问题，让学生思考，可以激发学生探究的热情．

　　［活动２］

　　1．提出小学数学中一道简单的分数加法题目．

　　2．用课件引导学生用类比法，归纳总结同分母分式加法法则．

　　3．教师使用课件展示[例1]

　　4．教师通过课件出两个小练习．

　　教师提出问题，学生回答，进一步回忆同分母分数加减的运算法则．

　　学生在教师的引导下，探索同分母分式加减的运算方法．

　　通过例题，让学生和教师一起体会同分母分式加减运算，同时教师指出运算中的．注意事项．

　　由两个学生板书自主完成练习，教师巡视指导学生练习．

　　运用类比的方法，从学生熟知的知识入手，有利于学生接受新知识．

　　师生共同完成例题，使学生感受到自己很棒，自己能够通过思考学会新知识，提高自信心．

　　让学生进一步体会同分母分式的加减运算．

　　［活动３］

　　1．教师以练习的形式通过“自我发展的平台”，向学生展示这样一道题．

　　2．教师提出思考题：

　　异分母的分式加减法要遵守什么法则呢？

　　教师展示一道异分母分式的加减题目，学生自然就想到异分母分数的加减．

　　教师通过课件引导学生思考，学生会想到小学数学中，异分母分数的加减法则，从而联想到异分母分式的加减法则，教师引导学生归纳出异分母分式加减运算的方法思路．

　　由学生主动提出解决问题的方法，从而激发了学生探究问题的兴趣．

　　通过学生的自我探究、归纳总结，让学生充分参与到数学学习的`过程中来，体会学习的乐趣．

　　［活动４］

　　１．在语言叙述分式加减法则的基础上，用字母表示分式的加减法法则．

　　2．教师使用课件展示[例2]

　　3．教师通过课件出4个小练习．

　　4．[例3]在图的电路中,已测定CAD支路的电阻是R1欧姆,又知CBD支路的电阻R2比R1大50欧姆,根据电学的有关定律可知总电阻R与R1R2满足关系式；

　　试用含有R1的式子表示总电阻R

　　５．教师使用课件展示[例4]

　　教师提出要求，由学生说出分式加减法则的字母表示形式．

　　通过例题，让学生和教师一起体会异分母分式加减运算，同时教师重点演示通分的过程．

　　教师引导学生找出每道题的方法、如何找最简公分母及时指出学生在通分中出现的问题，由学生自己完成．

　　教师引导学生寻找解决问题的突破口，由师生共同完成，对比物理学中的计算，体会各学科知识之间的联系．

　　分式的混合运算，师生共同完成，教师提醒学生注意运算顺序，通分要仔细．

　　由此练习学生的抽象表达能力，让学生体会数学符号语言的精练．

　　让学生体会运用的公式解决问题的过程．

　　锻炼学生运用法则解决问题的能力，既准确又有速度．

　　提高学生的计算能力．

　　通过分式在物理学中的应用，加强了学科之间的联系，使学生开阔了视野，让学生体会到学习数学的重要性，体会各学科全面发展的重要性，提高学习的兴趣．

　　提高学生综合应用知识的能力．

　　［活动５］

　　1.教师通过课件出2个分式混合运算的小练习．

　　2.总结：

　　a)这节课我们学习了哪些知识？你能说一说吗？

　　b)⑴方法思路；

　　c)⑵计算中的主意事项；

　　d)⑶结果要化简．

　　3.作业：

　　a)教科书习题16.2第4、5、6题．

　　学生练习、巩固．

　　教师巡视指导．

　　学生完成、交流．，师生评价．

　　教师引导学生回忆本节课所学内容，学生回忆交流，师生共同补充完善．

　　教师布置作业．

　　锻炼学生运用法则进行运算的能力，提高准确性及速度．

　　提高学生归纳总结的能力．

分式的教案6

　　分式方程

　　教学目标

　　1.经历分式方程的概念，能将实际问题中的等量关系用分式方程表示，体会分式方程的模型作用.

　　2.经历实际问题-分式方程方程模型的过程，发展学生分析问题、解决问题的能力，渗透数学的转化思想人体，培养学生的应用意识。

　　3.在活动中培养学生乐于探究、合作学习的习惯，培养学生努力寻找解决问题的进取心，体会数学的应用价值.

　　教学重点：

　　将实际问题中的等量关系用分式方程表示

　　教学难点：

　　找实际问题中的等量关系

　　教学过程：

　　情境导入：

　　有两块面积相同的小麦试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别收获小麦9000 kg和15000 kg。已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少3000 kg，分别求这两块试验田每公顷的'产量。你能找出这一问题中的所有等量关系吗?(分组交流)

　　如果设第一块试验田每公顷的产量为 kg，那么第二块试验田每公顷的产量是________kg。

　　根据题意，可得方程___________________

　　二、讲授新课

　　从甲地到乙地有两条公路：一条是全长600 km的普通公路，另一条是全长480 km的高速公路。某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快45 km/h，由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半。求该客车由高速公路从甲地到乙地所需的时间。

　　这一问题中有哪些等量关系?

　　如果设客车由高速公路从甲地到乙地所需的时间为 h，那么它由普通公路从甲地到乙地所需的时间为_________h。

　　根据题意，可得方程_ _____________________。

　　学生分组探讨、交流，列出方程.

　　三.做一做：

　　为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召同学们自愿捐款。已知第一次捐款总额为4800元，第二次捐款总额为5000元，第二次捐款人数比第一次多20人，而且两次人均捐款额恰好相等。如果设第一次捐款人数为人，那么满足怎样的方程?

　　四.议一议：

　　上面所得到的方程有什么共同特点?

　　分母中含有未知数的方程叫做分式方程

　　分式方程与整式方程有什么区别?

　　五、随堂练习

　　(1)据联合国《20xx年全球投资报告》指出，中国20xx年吸收外国投资额达530亿美元，比上一年增加了13%。设20xx年我国吸收外国投资额为亿美元，请你写出满足的方程。你能写出几个方程?其中哪一个是分式方程?

　　(2)轮船在顺水中航行20千米与逆水航行10千米所用时间相同，水流速度为2. 5千米/小时，求轮船的静水速度

　　(3)根据分式方程编一道应用题，然后同组交流，看谁编得好

　　六、学习小结

　　本节课你学到了哪些知识?有什么感想?

　　七.作业布置

分式的教案7

　　一、教学目标

　　1．了解分式、有理式的概念.

　　2．理解分式有意义的条件，能熟练地求出分式有意义的条件.

　　二、重点、难点

　　1．重点：理解分式有意义的条件.

　　2．难点：能熟练地求出分式有意义的条件.

　　三、课堂引入

　　1．让学生填写P127[思考]，学生自己依次填出：，，，.

　　2．学生看问题：一艘轮船在静水中的最大航速为30 /h，它沿江以最大航速顺流航行90 所用时间，与以最大航速逆流航行60 所用时间相等，江水的'流速为多少？

　　请同学们跟着教师一起设未知数，列方程.

　　设江水的流速为v /h.

　　轮船顺流航行90 所用的时间为小时，逆流航行60 所用时间小时，所以=.

　　3. 以上的式子，，，，有什么共同点？它们与分数有什么相同点和不同点？

　　四、例题讲解

　　P128例1. 当下列分式中的字母为何值时，分式有意义.

　　[分析]已知分式有意义，就可以知道分式的分母不为零，进一步解

　　出字母的取值范围.

　　[补充提问]如果题目为：当字母为何值时，分式无意义.你知道怎么解题吗？这样可以使学生一题二用，也可以让学生更全面地感受到分式及有关概念.

　　(补充)例2. 当为何值时，分式的值为0？

　　（1）（2）（3）

　　[分析] 分式的值为0时，必须同时满足两个条件：分母不能为零；分子为零，这样求出的的解集中的公共部分，就是这类题目的解.

　　[答案] （1）=0 （2）=2 （3）=1

　　五、随堂练习

　　1．判断下列各式哪些是整式，哪些是分式？

　　9x+4, , , , ，

　　2. 当x取何值时，下列分式有意义？

　　（1）（2）（3）

　　3. 当x为何值时，分式的值为0？

　　（1）（2）（3）

　　六、课后练习

　　1．下列代数式表示下列数量关系，并指出哪些是正是？哪些是分式？

　　（1）甲每小时做x个零件，则他8小时做零件个，做80个零件需小时.

　　（2）轮船在静水中每小时走a千米，水流的速度是b千米/时，轮船的顺流速度是千米/时，轮船的逆流速度是千米/时.

　　（3）x与的差于4的商是 .

　　2．当x取何值时，分式无意义？

　　3. 当x为何值时，分式的值为0？

分式的教案8

　　教学目标

　　(一)教学知识点

　　1.分式的基本性质.

　　2.利用分式的基本性质对分式进行等值变形.

　　3.了解分式约分的步骤和依据，掌握分式约分的方法.

　　4.使学生了解最简分式的意义，能将分式化为最简分式.

　　(二)能力训练要求

　　1.能类比分数的基本性质，推测出分式的基本性质.

　　2.培养学生加强事物之间的联系，提高数学运算能力.

　　(三)情感与价值观要求

　　通过类比分数的基本性质及分数的约分，推测出分式的基本性质和约分，在学生已有数学经验的基础上，提高学生学数学的乐趣.

　　教学重点

　　1.分式的'基本性质.

　　2.利用分式的基本性质约分.

　　3.将一个分式化简为最简分式.

　　教学难点

　　分子、分母是多项式的约分.

　　教学方法

　　讨论自主探究相结合

　　教具准备

　　投影片六张：

　　第一张：问题串，(记作3.1.2 A);

　　第二张：例2，(记作3.1.2 B);

　　第三张：例3，(记作3.1.2 C);

　　第四张：做一做，(记作3.1.2 D);

　　第五张：议一议，(记作3.1.2 E);

　　第六张：随堂练习，(记作3.1.2 F).

　　教学过程

　　Ⅰ.复习分数的基本性质，推想分式的基本性质.

分式的教案9

　　教学目标

　　1。使学生能分析题目中的等量关系，掌握列分式方程解应用题的方法和步骤，提高学生分析问题和解决问题的能力；

　　2。通过列分式方程解应用题，渗透方程的思想方法。

　　教学重点和难点

　　重点：列分式方程解应用题。

　　难点：根据题意，找出等量关系，正确列出方程。

　　教学过程设计

　　一、复习

　　例解方程：

　　（1）2x+xx+3=1；（2）15x=2×15 x+12；

　　（3）2（1x+1x+3）+x－2x+3=1。

　　解（1）方程两边都乘以x（3+3），去分母，得

　　2（x+3）+x2=x2+3x，即2x－3x=－6

　　所以 x=6。

　　检验：当x=6时，x（x+3）=6（6+3）≠0，所以x=6是原分式方程的根。

　　（2）方程两边都乘以x（x+12），约去分母，得

　　15（x+12）=30x。

　　解这个整式方程，得

　　x=12。

　　检验：当x=12时，x（x+12）=12（12+12）≠0，所以x=12是原分式方程的根。

　　（3）整理，得

　　2x+2x+3+x－2x+3=1，即2x+2+x－2 x+3=1，

　　即 2x+xx+3=1。

　　方程两边都乘以x（x+3），去分母，得

　　2（x+3）+x2=x（x+3），

　　即 2x+6+x2=x2+3x，

　　亦即 2x－3x=－6。

　　解这个整式方程，得 x=6。

　　检验：当x=6时，x（x+3）=6（6+3）≠0，所以x=6是原分式方程的根。

　　二、新课

　　例1 一队学生去校外参观，他们出发30分钟时，学校要把一个紧急通知传给带队老师，派一名学生骑车从学校出发，按原路追赶队伍。若骑车的速度是队伍进行速度的2倍，这名学生追上队伍时离学校的距离是15千米，问这名学生从学校出发到追上队伍用了多少时间？

　　请同学根据题意，找出题目中的等量关系。

　　答：骑车行进路程=队伍行进路程=15（千米）；

　　骑车的速度=步行速度的2倍；

　　骑车所用的时间=步行的时间－0。5小时。

　　请同学依据上述等量关系列出方程。

　　答案：

　　方法1 设这名学生骑车追上队伍需x小时，依题意列方程为

　　15x=2×15 x+12。

　　方法2 设步行速度为x千米／时，骑车速度为2x千米／时，依题意列方程为

　　15x－15 2x=12。

　　解由方法1所列出的方程，已在复习中解出，下面解由方法2所列出的方程。

　　方程两边都乘以2x，去分母，得

　　30－15=x，

　　所以 x=15。

　　检验：当x=15时，2x=2×15≠0，所以x=15是原分式方程的根，并且符合题意。

　　所以骑车追上队伍所用的时间为15千米 30千米／时=12小时。

　　答：骑车追上队伍所用的时间为30分钟。

　　指出：在例1中我们运用了两个关系式，即时间=距离速度，速度=距离时间。

　　如果设速度为未知量，那么按时间找等量关系列方程；如果设时间为未知量，那么按

　　速度找等量关系列方程，所列出的方程都是分式方程。

　　例2 某工程需在规定日期内完成，若由甲队去做，恰好如期完成；若由乙队去做，要超过规定日期三天完成。现由甲、乙两队合做两天，剩下的工程由乙独做，恰好在规定日期完成，问规定日期是多少天？

　　分析；这是一个工程问题，在工程问题中有三个量，工作量设为s，工作所用时间设为t，工作效率设为m，三个量之间的关系是

　　s=mt，或t=sm，或m=st。

　　请同学根据题中的等量关系列出方程。

　　答案：

　　方法1 工程规定日期就是甲单独完成工程所需天数，设为x天，那么乙单独完成工程所需的天数就是（x+3）天，设工程总量为1，甲的工作效率就是x1，乙的工作效率是1x+3。依题意，列方程为

　　2（1x+1x3）+x2－xx+3=1。

　　指出：工作效率的意义是单位时间完成的工作量。

　　方法2 设规定日期为x天，乙与甲合作两天后，剩下的工程由乙单独做，恰好在规定日期完成，因此乙的工作时间就是x天，根据题意列方程

　　2x+xx+3=1。

　　方法3 根据等量关系，总工作量—甲的工作量=乙的工作量，设规定日期为x天，则可列方程

　　1－2x=2x+3+x－2x+3。

　　用方法1～方法3所列出的方程，我们已在新课之前解出，这里就不再解分式方程了。重点是找等量关系列方程。

　　三、课堂练习

　　1。甲加工180个零件所用的时间，乙可以加工240个零件，已知甲每小时比乙少加工5个零件，求两人每小时各加工的零件个数。

　　2。A，B两地相距135千米，有大，小两辆汽车从A地开往B地，大汽车比小汽车早出发5小时，小汽车比大汽车晚到30分钟。已知大、小汽车速度的比为2：5，求两辆汽车的速度。

　　答案：

　　1。甲每小时加工15个零件，乙每小时加工20个零件。

　　2。大，小汽车的速度分别为18千米／时和45千米／时。

　　四、小结

　　1。列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题的方法与步骤基本相同，不同点是，解分式方程必须要验根。一方面要看原方程是否有增根，另一方面还要看解出的根是否符合题意。原方程的增根和不符合题意的根都应舍去。

　　2。列分式方程解应用题，一般是求什么量，就设所求的量为未知数，这种设未知数的方法，叫做设直接未知数。但有时可根据题目特点不直接设题目所求的量为未知量，而是设另外的量为未知量，这种设未知数的方法叫做设间接未知数。在列分式方程解应用题时，设间接未知数，有时可使解答变得简捷。例如在课堂练习中的第2题，若题目的条件不变，把问题改为求大、小两辆汽车从A地到达B地各用的时间，如果设直接未知数，即设，小汽车从A地到B地需用时间为x小时，则大汽车从A地到B地需（x+5－12）小时，依题意，列方程

　　135 x+5－12：135x=2：5。

　　解这个分式方程，运算较繁琐。如果设间接未知数，即设速度为未知数，先求出大、小两辆汽车的速度，再分别求出它们从A地到B地的时间，运算就简便多了。

　　五、作业

　　1 填空：

　　（1）一件工作甲单独做要m小时完成，乙单独做要n小时完成，如果两人合做，完成这件工作的'时间是______小时；

　　（2）某食堂有米m公斤，原计划每天用粮a公斤，现在每天节约用粮b公斤，则可以比原计划多用天数是______；

　　（3）把a千克的盐溶在b千克的水中，那么在m千克这种盐水中的含盐量为______千克。

　　2 列方程解应用题。

　　（1）某工人师傅先后两次加工零件各1500个，当第二次加工时，他革新了工具，改进了操作方法，结果比第一次少用了18个小时。已知他第二次加工效率是第一次的2。5倍，求他第二次加工时每小时加工多少零件？

　　（2）某人骑自行车比步行每小时多走8千米，如果他步行12千米所用时间与骑车行36千米所用的时间相等，求他步行40千米用多少小时？

　　（3）已知轮船在静水中每小时行20千米，如果此船在某江中顺流航行72千米所用的时间与逆流航行48千米所用的时间相同，那么此江水每小时的流速是多少千米？

　　（4）A，B两地相距135千米，两辆汽车从A地开往B地，大汽车比小汽车早出发5小时，小汽车比大汽车晚到30分钟。已知两车的速度之比是5：2，求两辆汽车各自的速度。

　　答案：

　　1 （1）mn m+n；（2）m a－b－ma；（3）ma a+b。

　　2 （1）第二次加工时，每小时加工125个零件。

　　（2）步行40千米所用的时间为40 4=10（时）。答步行40千米用了10小时。

　　（3）江水的流速为4千米／时。

　　课堂教学设计说明

　　1。教学设计中，对于例

　　1，引导学生依据题意，找到三个等量关系，并用两种不同的方法列出方程；对于例

　　2，引导学生依据题意，用三种不同的方法列出方程。这种安排，意在启发学生能善于从不同的角度、不同的方向思考问题，激励学生在解决问题中养成灵活的思维习惯。这就为在列分式方程解应用题教学中培养学生的发散思维提供了广阔的空间。

　　2。教学设计中体现了充分发挥例题的模式作用。

　　例1是行程问题，其中距离是已知量，求速度（或时间）；例2是工程问题，其中工作总量为已知量，求完成工作量的时间（或工作效率）。这些都是运用列分式方程求解的典型问题。教学中引导学生深入分析已知量与未知量和题目中的等量关系，以及列方程求解的思路，以促使学生加深对模式的主要特征的理解和识另？别，让学生弄清哪些类型的问题可借助于分式方程解答，求解的思路是什么。学生完成课堂练习和作业，则是识别问题类型，能把面对的问题和已掌握的模式在头脑中建立联系，探求解题思路。

　　3。通过列分式方程解应用题数学，渗透了方程的思想方法，从中使学生认识到方程的思想方法是数学中解决问题的一个锐利武器。方程的思想方法可以用“以假当真”和“弄假成真”两句话形容。如何通过设直接未知数或间接未知数的方法，假设所求的量为x，这时就把它作为一个实实在在的量。通过找等量关系列方程，此时是把已知量与假设的未知量平等看待，这就是“以假当真”。通过解方程求得问题的解，原先假设的未知量x就变成了确定的量，这就是“弄假成真”。

　　列分式方程解应用题

　　教学目标

　　1。使学生能分析题目中的等量关系，掌握列分式方程解应用题的方法和步骤，提高学生分析问题和解决问题的能力；

　　2。通过列分式方程解应用题，渗透方程的思想方法。

　　教学重点和难点

　　重点：列分式方程解应用题。

　　难点：根据题意，找出等量关系，正确列出方程。

　　教学过程设计

　　一、复习

　　例解方程：

　　（1）2x+xx+3=1；（2）15x=2×15 x+12；

　　（3）2（1x+1x+3）+x－2x+3=1。

　　解（1）方程两边都乘以x（3+3），去分母，得

　　2（x+3）+x2=x2+3x，即2x－3x=－6

　　所以 x=6。

　　检验：当x=6时，x（x+3）=6（6+3）≠0，所以x=6是原分式方程的根。

　　（2）方程两边都乘以x（x+12），约去分母，得

　　15（x+12）=30x。

　　解这个整式方程，得

　　x=12。

　　检验：当x=12时，x（x+12）=12（12+12）≠0，所以x=12是原分式方程的根。

　　（3）整理，得

　　2x+2x+3+x－2x+3=1，即2x+2+x－2 x+3=1，

　　即 2x+xx+3=1。

　　方程两边都乘以x（x+3），去分母，得

　　2（x+3）+x2=x（x+3），

　　即 2x+6+x2=x2+3x，

　　亦即 2x－3x=－6。

　　解这个整式方程，得 x=6。

　　检验：当x=6时，x（x+3）=6（6+3）≠0，所以x=6是原分式方程的根。

　　二、新课

　　请同学根据题意，找出题目中的等量关系。

　　答：骑车行进路程=队伍行进路程=15（千米）；

　　骑车的速度=步行速度的2倍；

　　骑车所用的时间=步行的时间－0。5小时。

　　请同学依据上述等量关系列出方程。

　　答案：

　　方法1 设这名学生骑车追上队伍需x小时，依题意列方程为

　　15x=2×15 x+12。

　　方法2 设步行速度为x千米／时，骑车速度为2x千米／时，依题意列方程为

　　15x－15 2x=12。

　　解由方法1所列出的方程，已在复习中解出，下面解由方法2所列出的方程。

　　方程两边都乘以2x，去分母，得

　　30－15=x，

　　所以 x=15。

　　检验：当x=15时，2x=2×15≠0，所以x=15是原分式方程的根，并且符合题意。

　　所以骑车追上队伍所用的时间为15千米 30千米／时=12小时。

　　答：骑车追上队伍所用的时间为30分钟。

　　指出：在例1中我们运用了两个关系式，即时间=距离速度，速度=距离时间。

　　如果设速度为未知量，那么按时间找等量关系列方程；如果设时间为未知量，那么按

　　速度找等量关系列方程，所列出的方程都是分式方程。

　　分析；这是一个工程问题，在工程问题中有三个量，工作量设为s，工作所用时间设为t，工作效率设为m，三个量之间的关系是

　　s=mt，或t=sm，或m=st。

　　请同学根据题中的等量关系列出方程。

　　答案：

　　2（1x+1x3）+x2－xx+3=1。

　　指出：工作效率的意义是单位时间完成的工作量。

　　方法2 设规定日期为x天，乙与甲合作两天后，剩下的工程由乙单独做，恰好在规定日期完成，因此乙的工作时间就是x天，根据题意列方程

　　2x+xx+3=1。

　　方法3 根据等量关系，总工作量—甲的工作量=乙的工作量，设规定日期为x天，则可列方程

　　1－2x=2x+3+x－2x+3。

　　用方法1～方法3所列出的方程，我们已在新课之前解出，这里就不再解分式方程了。重点是找等量关系列方程。

　　三、课堂练习

　　1。甲加工180个零件所用的时间，乙可以加工240个零件，已知甲每小时比乙少加工5个零件，求两人每小时各加工的零件个数。

　　答案：

　　1。甲每小时加工15个零件，乙每小时加工20个零件。

　　2。大，小汽车的速度分别为18千米／时和45千米／时。

　　四、小结

　　135 x+5－12：135x=2：5。

　　五、作业

　　1。填空：

　　（1）一件工作甲单独做要m小时完成，乙单独做要n小时完成，如果两人合做，完成这件工作的时间是______小时；

　　（2）某食堂有米m公斤，原计划每天用粮a公斤，现在每天节约用粮b公斤，则可以比原计划多用天数是______；

　　（3）把a千克的盐溶在b千克的水中，那么在m千克这种盐水中的含盐量为______千克。

　　2。列方程解应用题。

　　（2）某人骑自行车比步行每小时多走8千米，如果他步行12千米所用时间与骑车行36千米所用的时间相等，求他步行40千米用多少小时？

　　答案：

　　1。（1）mn m+n；（2）m a－b－ma；（3）ma a+b。

　　2。（1）第二次加工时，每小时加工125个零件。

　　（2）步行40千米所用的时间为40 4=10（时）。答步行40千米用了10小时。

　　（3）江水的流速为4千米／时。

　　课堂教学设计说明

　　1 教学设计中，对于例1，引导学生依据题意，找到三个等量关系，并用两种不同的方法列出方程；对于例2，引导学生依据题意，用三种不同的方法列出方程。这种安排，意在启发学生能善于从不同的角度、不同的方向思考问题，激励学生在解决问题中养成灵活的思维习惯。这就为在列分式方程解应用题教学中培养学生的发散思维提供了广阔的空间。

　　2 教学设计中体现了充分发挥例题的模式作用。例1是行程问题，其中距离是已知量，求速度（或时间）；例2是工程问题，其中工作总量为已知量，求完成工作量的时间（或工作效率）。这些都是运用列分式方程求解的典型问题。教学中引导学生深入分析已知量与未知量和题目中的等量关系，以及列方程求解的思路，以促使学生加深对模式的主要特征的理解和识另？别，让学生弄清哪些类型的问题可借助于分式方程解答，求解的思路是什么。学生完成课堂练习和作业，则是识别问题类型，能把面对的问题和已掌握的模式在头脑中建立联系，探求解题思路。

　　3 通过列分式方程解应用题数学，渗透了方程的思想方法，从中使学生认识到方程的思想方法是数学中解决问题的一个锐利武器。方程的思想方法可以用“以假当真”和“弄假成真”两句话形容。如何通过设直接未知数或间接未知数的方法，假设所求的量为x，这时就把它作为一个实实在在的量。通过找等量关系列方程，此时是把已知量与假设的未知量平等看待，这就是“以假当真”。通过解方程求得问题的解，原先假设的未知量x就变成了确定的量，这就是“弄假成真”。

分式的教案10

　　教学目标：

　　1、本节课使学生在学完了可化为一元二次方程的分式方程的解法后，解决实际问题应用之一．——行程问题，使学生正确理解行程问题的有关概念和规律，会列分式方程解有关行程问题的应用题．

　　2、本节课通过列分式方程解有关行程问题的应用题，就是把实际问题转化为数学问题，这就要求学生能对实际问题分析、概括、总结、解，从而能进一步地提高学生分析问题和解决问题的能力．

　　教学重点：

　　列分式方程解有关行程问题．

　　教学难点：

　　如何分析和使用复杂的数量关系，找出相等关系，对于难点，解决的关键是抓住时间、路程、速度三者之间的关系，通过三者之间的关系的分析设出未知数和列出方程．

　　3．疑点：对于列分式方程解应用题，学生往往考虑到所解出的答案是否和题意相吻合，而认为可以不需要检验．通过本节的学习，使学生清楚地懂得列分式方程解应用题应首先检验所求出的方程的解是否是所列分式方程的解，然后考虑所满足方程的解是否与题意相吻合．

　　教学过程：

　　在上一节课，我们已经学习了可化为一元二次方程的分式方程的解法，我们知道，我们现在所学习的理论是先人通过千百年的实践总结，概括出来的，我们学习理论是为了更好地解决实践当中所出现的问题．这一节课所学的内容就是运用上节课所学过的分式方程解法的知识去解决实际问题，关于本节内容，是学生在上节课所学过的分式方程的解法的基础上而学习的，所以点出由实践——理论——实践这一观点，能更加激发学生的求知欲，使得学生能充分地认识到学习理论知识和理论知识的运用同等重要，从而抓住学生的注意力，能使得学生充分地参与到教学活动中去．

　　为了使学生能充分地利用所学过的理论知识来解决实际问题，首先应对上一节课所学过的分式方程的解法进行复习，同时让学生回忆行程问题中的三个量——速度、路程、时间三者之间的关系，从而将学生的思路调动到本节课的内容中来，这样对于面向全体学生，大面积地提高教学质量大有益处．

　　一、新课引入：

　　1．解分式方程的基本思路是什么？解分式方程常用的两种方法是什么？

　　2．在匀速运动过程中，路程s、速度v、时间t三者之间的`关系是什么？

　　3．以前所学过的列方程解应用题的步骤有哪些？

　　通过对问题1的复习，使学生对前一节内容得到巩固，对问题2的复习给学生设定一种悬念，以抓住学生的注意力，对问题3的复习，使学生对于问题2的悬念有了一种初步的判断，以便于点题——本节课所学的内容．

　　通过对前面三个复习问题的设计，学生能充分的认识到本节所要学习的内容，再加上适时点题，完全地将学生的注意力全部地集中到教师身上，充分发挥教师的指导作用，并调动起学生的积极性，发挥学生的主体作用．

　　二、新课讲解：

　　例1甲、乙二人同时从张庄出发，步行15千米到李庄．甲比乙每小时多走1千米，结果比乙早到半小时．二人每小时各走几千米？

　　分析：

　　（1）题目中已表明此题是行程问题，实质上是速度、路程、时间三者关系在题中的隐含．

　　（2）题目中所隐含的等量关系是：甲从张庄到李庄的时间比乙

分式的教案11

　　●课题

　　§3.4.2分式方程(二)

　　●教学目标

　　（一）教学知识点

　　1.解分式方程的一般步骤.

　　2.了解解分式方程验根的必要性.

　　（二）能力训练要求

　　1.通过具体例子，让学生独立探索方程的解法，经历和体会解分式方程的必要步骤.

　　2.使学生进一步了解数学思想中的“转化”思想，认识到能将分式方程转化为整式方程，从而找到解分式方程的途径.

　　（三）情感与价值观要求

　　1.培养学生自觉反思求解过程和自觉检验的良好习惯，培养严谨的治学态度.

　　2.运用“转化”的思想，将分式方程转化为整式方程，从而获得一种成就感和学习数学的自信.

　　●教学重点

　　1.解分式方程的一般步骤，熟练掌握分式方程的解决.

　　2.明确解分式方程验根的必要性.

　　●教学难点

　　明确分式方程验根的必要性.

　　●教学方法

　　探索发现法

　　学生在教师的引导下，探索分式方程是如何转化为整式方程，并发现解分式方程验根的'必要性.

　　●教学过程

　　Ⅰ.提出问题，引入新课

　　［师］在上节课的几个问题，我们根据题意将具体实际的情境，转化成了数学模型——分式方程.但要使问题得到真正的解决，则必须设法解出所列的分式方程.

　　这节课，我们就来学习分式方程的解法.我们不妨先来回忆一下我们曾学过的一元一次方程的解法，也许你会从中得到启示，寻找到解分式方程的方法.

　　解方程+=2－［师生共解］（1）去分母，方程两边同乘以分母的最小公倍数6，得

　　3（3x－1）+2（5x+2）=6×2－（4x－2）.

　　（2）去括号，得9x－3+10x+4=12－4x+2,

　　（3）移项，得9x+10x+4x=12+2+3－4,

　　（4）合并同类项，得23x=13,

　　（5）使x的系数化为1，两边同除以23，x=.

分式的教案12

　　一、教材分析

　　《分式》是北师大版八年级下册第3章第一节内容。本节课的主要内容是分式概念、意义和用分式表示数量关系。分式是小学所学分数的延伸和扩展，也是今后继续学习分式的性质、运算以及解分式方程的前提。

　　学生在七年级已经学习了整式，也初步养成了自主探究的数学学习意识。分式学习的方法与整式相类似可以通过类比进行分式的学习。依据课程标准，教材特点和学生认知水平，将本节课的教学目标确定为以下3个方面: (1)知识：掌握分式概念，学会判别分式何时有意义，能用分式表示数量关系。

　　(2)能力：学会与人合作，并获得代数学习的一些常用方法：类比转化、合情推理、抽象概括等。

　　(3 情感：通过数学活动，体验数学活动充满着探索和创造，体会分式的模型思想。

　　其中分式概念是《分式》这一章学习的起点和基础，因此我把分式的概念确定为本节课的教学重点。又由于初中学生不善于概括数学材料、缺乏对字母及其他数学符号用于运算的能力，所以判定分母中整式的值何时不为零、用分式描述数量关系自然就成了本节课的教学难点。

　　二、教法学法：基于以上教材特点和学生情况，为能更好地达成教学目标,我在本节课主要采用引导发现教学法，并借助于多媒体课件，通过问题情境建立模型应用与拓展的模式展开教学。

　　三、教学过程：《数学课程标准》明确指出：数学教学是数学活动的教学，学生是数学学习的主人。为能更多地向学生提供从事数学活动的机会，我将本节课的教学过程设为以下四个环节：

　　(一)创设情景发现新知：我创设了这样的情境：代数式庄园的果树上挂满了整式的果子：t，300，s，n，a-x，0，请你任选其中的两个，分别运用整式的四则运算，合成四个代数式;并与同组的伙伴交流你的成果。其中有不同于整式的式子吗?请说一说。通过学生对自己所构造的代数式进行观察，创设发现情境，使学生学会把自己的活动作为思考的对象，从而更好地进行分式概念的建构活动。针对学生的发现，采用议一议：你们所发现的`这一类新代数式：它们有什么共同特征?它们与整式有什么不同?的方式引导学生继续观察新式子的特征，类比分数，概括出分式的概念及一般表示形式。然后通过小组内互举例子，在活动过程中强化分式概念，并注意辨析整式与分式的区别，强调分式的分母中必须含有字母。

　　(二)合作交流再探新知：到此学生对分式的概念有了初步的认识，但并不完整。接下来如何识别分式有意义，是本节课的难点，学生往往忽视这个条件或是对分母整体不为零认识模糊，为了更好地突破难点，我创设了以下活动供学生自主探究分式有意义的条件：首先是组织学生独立填写表格并交流：分式的值与字母取值有关，分式并不都有意义。自主得出分式有意义的条件：表达式里的分母B不等于0。

　　为了能让学生对刚获得的新知识进行最基本的应用，紧接着我安排了例题与练习。比较简单，可由学生在自主完成的基础上同桌交流，然后师生评述，使全体学生都能达到基本的学习目标，获得成功感。

　　(三)应用新知巩固提高：分式来源于生活，又服务于生活。为使学生有所体会，课本中的引例：土地沙化、固沙造林问题，我保留了前两问原计划完成一期工程需要( )个月，实际完成一期工程用了( )个月，使题目难度更适合学生的思维水平;同时向学生介绍中国土地沙化问题渗透环保意识。

　　(五)总结反思深化拓展：1，引导学生从知识、方法、情感三个方面谈一谈这一节课的收获。2，举例让学生说出分式的实际意义

分式的教案13

　　一、教学目标

　　1．使学生根据分数的通分法则及分式的基本性质，分析、归纳出分式的通分法则，并能熟练掌握通分运算。

　　2．使学生理解和掌握分式和减法法则，并会应用法则进行分式加减的运算。

　　3．使学生能够灵活运用分式的有关法则进行分式的四则混合运算。

　　4．引导学生不断小结运算方法和技巧，提高运算能力。

　　二、教学重点和难点

　　1．重点：分式的加减运算。

　　2．难点：异分母的分式加减法运算。

　　三、教学方法

　　启发式、分组讨论。

　　四、教学手段

　　幻灯片。

　　五、教学过程

　　（一）引入

　　1．如何计算：2．如何计算：3．若分母不同如何计算？如：

　　（二）新课

　　1．类比分数的通分得到分式的通分：把几个异分母的分式分别化成与原来的.分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。

　　2．通分的依据：分式的基本性质。

　　3．通分的关键：确定几个分式的公分母。

　　通常取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。

　　例1通分：

　　（1）解：∵最简公分母是，

　　小结：各分母的系数都是整数时，通常取它们的系数的最小公倍数作为最简公分母的系数。

　　（2）解：

　　例2通分：

　　（1）解：∵最简公分母的是2x（x+1）（x—1），

　　小结：当分母是多项式时，应先分解因式。

　　（2）解：将分母分解因式：∴最简公分母为2（x+2）（x—2），

　　练习：教材P，79中1、2、3。

　　（三）课堂小结

　　1．通分与约分虽都是针对分式而言，但却是两种相反的变形。约分是针对一个分式而言，而通分是针对多个分式而言；约分是把分式化简，而通分是把分式化繁，从而把各分式的分母统一起来。

　　2．通分和约分都是依据分式的基本性质进行变形，其共同点是保持分式的值不变。

　　3．一般地，通分结果中，分母不展开而写成连乘积的形式，分子则乘出来写成多项式，为进一步运算作准备。

分式的教案14

　　【知识拓展】

　　分母里含有未知数的方程叫做分式方程．解分式方程组的基本思想是：化为整式方程．通常有两种做法：一是去分母；二是换元．

　　解分式方程一定要验根．

　　解分式方程组时整体代换的思想体现得很充分．常见的思路有：取倒数法方程迭加法，换元法等．

　　列分式方程解应用题，关键是找到相等关系列出方程．如果方程中含有字母表示的已知数，需根据题竞变换条件，实现转化．设未知数而不求解是常见的技巧之一．

　　例题求解

　　一、分式方程(组)的解法举例

　　1．拆项重组解分式方程

　　【例1】解方程．

　　解析直接去分母太繁琐，左右两边分别通分仍有很复杂的分子．考虑将每一项分拆：如，这样可降低计算难度．经检验为原方程的解．

　　注本题中用到两个技巧：一是将分式拆成整式加另一个分式；二是交换了项，避免通分后分子出现x．这样大大降低了运算量．本讲趣题引路中的问题也属于这种思路．

　　2．用换元法解分式方程

　　【例2】解方程．

　　解析若考虑去分母，运算量过大；分拆也不行，但各分母都是二次三项式，试一试换元法．

　　解令x2+ 2x―8=y，原方程可化为

　　解这个关于y的分式方程得y=9x或y=－5x．

　　故当y=9x时，x2+2x―8=9x，解得x1=8，x2=―1．

　　当y=－5x时，x2+2x―8=－5x，解得x3=―8，x4=1．

　　经检验，上述四解均为原方程的解．

　　注当分式方程的结构较复杂且有相同或相近部分时，可通过换元将之简化．

　　3．形如结构的分式方程的解法

　　形如的分式方程的解是：，．

　　【例3】解方程．

　　解析方程左边两项的乘积为1，可考虑化为上述类型的'问题求解．

　　，均为原方程的解．

　　4．运用整体代换解分式方程组

　　【例4】解方程组．

　　解析若用常规思路设法消元，难度极大．注意到每一方程左边分子均为单项式，为什么不试一试倒过来考虑呢?

　　解显然x=y=z=0是该方程组的一组解．

　　若x、y、z均不为0，取倒数相加得x=y=z=

　　故原方程组的解为x=y=z=0和x=y=z= ．

　　二、含字母系数分式方程根的讨论

　　【例5】解关于x的方程．

　　解析去分母化简为含字母系数的一次方程，须分类讨论．

　　讨论：（1）当a2－1≠0时

　　①当a≠0时，原方程解为x= ；

　　②当a=0时，此时是增根．

　　(2) 当a2－1＝0时即a= ，此时方程的解为x≠ 的任意数；

　　综上，当a≠±1且a≠0时，原方程解为x= ；当a=0时，原方程无解，；当a= 时，原方程的解为x≠ 的任意数．

　　三、列分式方程解应用题

　　【例6】某商场在一楼和二楼之间安装了一自动扶梯，以均匀的速度向上行驶，一男孩和一女孩同时从自动扶梯上走到二楼(扶梯行驶，两人也走梯)．如果两人上梯的速度都是匀速的，每次只跨1级，且男孩每分钟走动的级数是女孩的2倍．已知男孩走了27级到达扶梯顶部，而女孩走了18级到达顶部．

　　（1）扶梯露在外面的部分有多少级?

　　(2)现扶梯近旁有一从二楼下到一楼的楼梯道，台阶的级数与自动扶梯的级数相等，两个孩子各自到扶梯顶部后按原速度再下楼梯，到楼梯底部再乘自动扶梯上楼(不考虑扶梯与楼梯间的距离)．求男孩第一次迫上女孩时走了多少级台阶?

　　解析题中有两个等量关系，男孩走27级的时间等于扶梯走了S－27级的时间；女孩走18级的时间等于扶梯走S―18级的时间．

　　解 (1)设女孩上梯速度为x级／分，自动扶梯的速度为y级／分，扶梯露在外面的部分有S级，则男孩上梯的速度为2x级／分，且有

　　解得 S=54．

　　所以扶梯露在外面的部分有54级．

　　(2)设男孩第一次追上女孩时走过自动扶梯rn遍，走过楼梯n遍，则女孩走过自动扶梯(m―1)遍、走过楼梯(n―1)遍．

　　由于两人所走的时间相等，所以有．

　　由(1)中可求得y=2x,代人上面方程化简得6n+m=16．

　　无论男孩第一次追上女孩是在自动扶梯还是在下楼时，m、n中都一定有一个是正整数，且0≤m―n≤1．

　　试验知只有 m=3，n= 符合要求．

　　所以男孩第一次追上女孩时走的级数为3×27+ ×54=198(级)．

　　注本题求解时设的未知数x、y，只设不求，这种方法在解复杂的应用题时常用来帮助分析数量关系，便于解题．

　　【例7】 (江苏省初中数学竞赛C卷)编号为1到25的25个弹珠被分放在两个篮子A和B中．15号弹珠在篮子A中，把这个弹珠从篮子A移至篮子B中，这时篮子A中的弹珠号码数的平均数等于原平均数加，篮子B中弹珠号码数的平均数也等于原平均数加．问原来在篮子A中有多少个弹珠?

　　解析本题涉及A中原有弹珠，A、B中号码数的平均数，故引入三个未知数．

　　解设原来篮子A中有弹珠x个，则篮子B中有弹珠(25－x)个．又记原来A中弹珠号码数的平均数为a，B中弹珠号码数的平均数为b．则由题意得

　　解得x=9，即原来篮子A中有9个弹珠．

　　学力训练

　　（A级）

　　1．解分式方程．

　　2．若关于x的方程有增根x=1，求k的值．

　　3．解分式方程．

　　4．解方程组．

　　5．丙、丁三管齐开，15分钟可注满全池；甲、丁两管齐开，20分钟注满全池．如果四管齐开，需要多少时间可以注满全池？

　　（B级）

　　1．关于x的方程有唯一的解，字母已知数应具备的条件是( )

　　A． a≠b B．c≠d C．c+d≠0 D．bc+ad≠0

　　2．某队伍长6km，以每小时5 km的速度行进，通信员骑马从队头到队尾送信，到队尾后退返回队头，共用了0.5 h，则通信员骑马的速度为每小时 km．

　　3．某项工作，甲单独作完成的天数为乙、丙合作完成天数的m倍，乙单独作完成的天数为甲、丙合作完成天数的n倍，丙单独作完成的天数为甲、乙合作完成天数的k倍，则 = ．

　　4．m为何值时，关于x、y的方程组：的解，满足，？

　　5．(天津市中考题)某工程由甲、乙两队合做6天完成，厂家需付甲、乙两队共8700元；乙、丙两队合做10天完成，厂家需付乙、丙两队共9500元；甲、丙两队合做5天完成全部工程的，厂家需付甲、丙两队共5500元．

　　(1)求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天?

　　(2)若工期要求不超过15天完成全部工程，问：由哪队单独完成此项工程花钱最少?请说明理由．

　　6．甲、乙二人两次同时在同一粮店购买粮食(假设两次购买的单价不同)，甲每次购买粮食100kg，乙每次购买粮食用去100元．设甲、乙两人第一次购买粮食的单价为x元／kg，第二次单价为y元／kg．

　　(1)用含x、y的代数式表示甲两次购买粮食共需付款元，乙两次共购买 kg粮食．若甲两次购买粮食的平均单价为每千克Ql元，乙两次购粮的平均单价为每千克Q2元则Q1= ；Q2= ．

分式的教案15

　　一、教学目标

　　1。使学生掌握可化为一元二次方程的分式方程的解法，能用去分母的方法或换元的方法求此类方程的解，并会验根。

　　2。通过本节课的教学，向学生渗透“转化”的数学思想方法；

　　3。通过本节的教学，继续向学生渗透事物是相互联系及相互转化的辨证唯物主义观点。

　　二、重点、难点、疑点及解决办法

　　1。教学重点：可化为一元二次方程的分式方程的解法。

　　2。教学难点：解分式方程，学生不容易理解为什么必须进行检验。

　　3。教学疑点：学生容易忽视对分式方程的解进行检验通过对分式方程的解的剖析，进一步使学生认识解分式方程必须进行检验的重要性。

　　4。解决办法：（l）分式方程的解法顺序是：先特殊、后一般，即能用换元法的方程应尽量用换元法解。（2）无论用去分母法解，还是换元法解分式方程，都必须进行验根，验根是解分式方程必不可少的一个重要步骤。（3）方程的增根具备两个特点，①它是由分式方程所转化成的整式方程的根②它能使原分式方程的公分母为0。

　　三、教学步骤

　　（一）教学过程

　　1。复习提问

　　（1）什么叫做分式方程？解可化为一元一次方程的分式方程的方法与步骤是什么？

　　（2）解可化为一元一次方程的分式方程为什么要检验？检验的方法是什么？

　　（3）解方程，并由此方程说明解方程过程中产生增根的原因。

　　通过（1）、（2）、（3）的准备，可直接点出本节的内容：可化为一元二次方程的分式方程的解法相同。

　　在教师点出本节内容的处理方法与以前所学的知识完全类同后，让全体学生对照前面复习过的分式方程的解，来进一步加深对“类比”法的理解，以便学生全面地参与到教学活动中去，全面提高教学质量。

　　在前面的基础上，为了加深学生对新知识的理解，教师与学生共同分析解决例题，以提高学生分析问题和解决问题的能力。

　　2。例题讲解

　　例1解方程。

　　分析对于此方程的解法，不是教师讲如何如何解，而是让学生对已有知识的回忆，使用原来的方法，去通过试的手段来解决，在学生叙述过程中，发现问题并及时纠正。

　　解：两边都乘以，得

　　去括号，得

　　整理，得

　　解这个方程，得

　　检验：把代入，所以是原方程的根。

　　∴原方程的根是。

　　虽然，此种类型的方程在初二上学期已学习过，但由于相隔时间比较长，所以有一些学生容易犯的'类型错误应加以强调，如在第一步中。需强调方程两边同时乘以最简公分母。另外，在把分式方程转化为整式方程后，所得的一元二次方程有两个相等的实数根，由于是解分式方程，所以在下结论时，应强调取一即可，这一点，教师应给以强调。

　　例2解方程

　　分析：解此方程的关键是如何将分式方程转化为整式方程，而转化为整式方程的关键是

　　正确地确定出方程中各分母的最简公分母，由于此方程中的分母并非均按的降幂排列，所以将方程的分母作一转化，化为按字母终行降暴排列，并对可进行分解的分母进行分解，从而确定出最简公分母。

　　解：方程两边都乘以，约去分母，得

　　整理后，得

　　解这个方程，得

　　检验：把代入，它不等于0，所以是原方程的根，把

　　代入它等于0，所以是增根。

　　∴原方程的根是

　　师生共同解决例1、例2后，教师引导学生与已学过的知识进行比较。

　　例3解方程。

　　分析：此题也可像前面例l、例2一样通过去分母解决，学生可以试，但由于转化后为一元四次方程，解起来难度很大，因此应寻求简便方式，通过引导学生仔细观察发现，方程中含有未知数的部分和互为倒数，由此可设，则可通过换元法来解题，通过求出y后，再求原方程的未知数的值。