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余弦定理教案
一、教材分析
《余弦定理》选自人教A版高中数学必修五第一章第一节第一课时。本节课的主要教学内容是余弦定理的内容及证明，以及运用余弦定理解决“两边一夹角”“三边”的解三角形问题。
余弦定理的学习有充分的基础，初中的勾股定理、必修一中的向量知识、上一课时的正弦定理都是本节课内容学习的知识基础，同时又对本节课的学习提供了一定的方法指导。其次，余弦定理在高中解三角形问题中有着重要的地位，是解决各种解三角形问题的常用方法，余弦定理也经常运用于空间几何中，所以余弦定理是高中数学学习的一个十分重要的内容。 二、教学目标
知识与技能：1、理解并掌握余弦定理和余弦定理的推论。
2、掌握余弦定理的推导、证明过程。
3、能运用余弦定理及其推论解决“两边一夹角”“三边”问题。 过程与方法：1、通过从实际问题中抽象出数学问题，培养学生知识的迁移能力。
2、通过直角三角形到一般三角形的过渡，培养学生归纳总结能力。 3、通过余弦定理推导证明的过程，培养学生运用所学知识解决实际 问题的能力。
情感态度与价值观：1、在交流合作的过程中增强合作探究、团结协作精神，体验 解决问题的成功喜悦。
2、感受数学一般规律的美感，培养数学学习的兴趣。 三、教学重难点
重点：余弦定理及其推论和余弦定理的运用。
难点：余弦定理的发现和推导过程以及多解情况的判断。
四、教学用具
普通教学工具、多媒体工具 （以上均为命题教学的准备）
余弦定理教案
教案设计：
余弦定理
【 教材 】 湘教版必修4第9页至12页.
【教学对象】 高二（上）学生
【学情分析】
学生已经会用正弦定理解决三角形相关问题，了解三角形边角之间存在着一定的数量关系，这为本节课的学习奠定了基础。对于正弦定理解决已知两边及夹角问题学生有一定的求知欲，这就促使学生去探索如何求解该类问题.
【教学目标】
知识与技能
（1）掌握余弦定理的证明方法，牢记公式.
（2）掌握余弦定理公式的变式，会灵活应用余弦定理. 过程与方法
（1）使学生经历公式的推导过程，培养严谨的逻辑思维.
（2）培养学生数形结合的能力.
（3）培养学生的问题解决能力.
情感态度价值观
经历余弦定理的推导过程，感受数学思维的严谨美，通过比较余弦定理公式感受数学公式的对称美，通过比较勾股定理以及余弦定理体会一般与特殊的关系.
【教学重点】 余弦定理推导
【教学难点】 余弦定理推导及应用
【教法学法】
教法：
一、情景教学法：创设问题情境，以学生感兴趣的，并容易理解的情景为开端，让学生在各自熟悉的场景中轻松、愉快地学习.
二、启发性教学法：启发性原则是永恒的。让学生成为课堂上行为的主体.
三、师生互动的探究教学法：充分给学生提供交流与归纳的空间，使整个数学活动生动活泼和富有个性的学习.
学法：
根据新课程理念，结合学生自身年龄特点和思维特点，让学生通过分组讨论，
汇报交流，归纳总结等方式进行学习．
【教学过程设计】
一、 教学流程设计
二、教学过程设计
2
cosC=
2ab
3
4
【板书设计】
余弦定理
一、引入 三、公式变形 六、小结与作业
二、余弦定理四、例题
本教学设计的创新之处
1. 目标创新
(1)理解余弦定理公式的适用条件，即已知两边及夹角求第三边的问题和已知三边求角的问题.
(2)培养学生数形结合的数学素养;培养学生的问题解决能力和数学探究能力.
(3)让学生感受数学的严谨美以及公式的对称美.
2. 教法创新
采用三种不同的教法，最大限度地调动学生的积极性，提高课堂效率.
3. 数学创新
设计了运用余弦定理来解决实际问题解决的例子, 为学生提供运用余弦定理来研究等三角形形状的探究问题，以培养学生的问题解决能力和数学探究能力,体现了现代数学教育的价值取向.
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余弦定理教学设计
南海艺术高级中学 胡辉
一．教学目标
知识目标：能推导余弦定理及其推论，能运用余弦定理解已知“边，角，边”和“边，边，边”两类三角形。
能力目标：培养学生知识的迁移能力；归纳总结的能力；运用所学知识解决实际问题的能力。 情感目标：从实际问题出发运用数学知识解决问题这个过程体验数学在实际生活中的运用，让学生感受数学的美，激发学生学习数学的兴趣。通过主动探索，合作交流，感受探索的乐趣和成功的体验，体会数学的理性和严谨。养成实事求是的科学态度和契而不舍的钻研精神，形成学习数学知识的积极态度。
二．教学重点和难点
重点：余弦定理的证明过程和定理的简单应用。
难点：利用向量的数量积证余弦定理的思路。
三．教学过程
（一）知识回顾
1.正弦定理：abc2R sinAsinBsinc
2.运用正弦定理能解决的两类解三角形问题：
（1）已知三角形任意两角和一边解三角形
（2）已知三角形两边和其中一边的对角解三角形
（二）提出问题
1．实际问题
武广高铁（武广客运专线）路线规划要经过一座小山丘，就需要挖隧洞。挖隧洞就涉及到一个问题，就是要测量出山脚的长度。而两山脚之间的距离是没有办法直接测量的，那要怎样才能知道山脚的长度呢？（用PPT投影出小山丘）
2．技术人员的办法
工程技术人员先在地面上选一适当位置A，量出A到山脚B、C的距离，再利用经纬仪测出A对山脚BC的张角，最后通过计算求出山脚的长度BC。若测得AB=300m、AC=400m，张角A=60则BC？（配合PPT演示）
1
3．提出问题
技术人员是怎么得到山脚BC的长度的呢？
（三）分析问题
1．问题化归
问题转化为在ABC中已知AB=300m，AC=400m， A=60要求BC边长的的数学问题。
2．问题探索
问：这是一个解三角形的问题，那么我们可以用已学的解三角形知识解决吗？
（学生很快便会发现找不到一组对边和对角无法运用正弦定理解决）
3．问题一般化
更一般的，问题可转化为已知三角形两边长和夹角求第
三边的问题，即：在ABC中已知AC=b，AB=c和A，求
CB
a。
（四）解决问题
1．定理推导 在ABC中，设ABc,ACb,BCa，
那么abc，则aabc，问题转化为 cbb,cc已知：和b与的夹角A且abc 求a. B 2aaa(bc)(bc)aabb2bcb2c22bccosAA 即：abc2bccosA
2．自主探究
（1）、在ABC中已知：a,b和C求c。
（2）、在ABC中已知：a,c和B求b。
3．归纳总结
（1）余弦定理
在ABC中有：
2 222
a2b2c22bccosA
b2a2c22accosB
c2a2b22abcosC
（2）定理描述
三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
（3）定理应用
已知三角形的两边及其夹角可以求解三角形
2． 问题解决
在ABC中，已知AB300m,AC400m,A60，求BC.
解：根据余弦定理：
BC2AB2AC22ABACcosA
300240022300400cos60
130000 故BC360.6(m)
3． 问题探究
在ABC中，已知b3,c1,A60，求a
解：由余弦定理得：
a2b2c22bccosA321223cos607
a
（五）理论创新
1．探索
在ABC中已知a=5，b=7，c=8，求B。
（若有同学答则顺势引出推论，若不能作答则由老师引导推出推论，然后返回解决该问题）
2．定理推论：
b2c2a2
cosA,2bca2c2b2cosB,2aca2b2c2cosC 2ab
推论应用：已知三角形三边求解三角形
3． 问题探究
在ABC中，已知a4,b5,c6：
（1）、试求最大角的余弦值（2）试判断该三角形形状
解：(1)由大边对大角可得在ABC中最大角为C
由余弦定理得：
a2b2c2425262
cosC0.1252ab245
(2)cosC0.1250C为锐角
ABC为锐角三角形
（六）理论实践
1．在ABC中，已知a3，c2，B150，求b。
2．在ABC中，已知a20,b29,c21是判断三角形形状。
,c3,A60求a。 3．在ABC中，已知b8，
（七）小结
1.定理的证明 2.定理和推论 3.定理的应用
（八）作业
1.复习 2.《师说》P4P6 3.预习
四．板书设计
余弦定理教学设计
数学：1.1《正弦定理与余弦定理》教案（新人教版必修5）（原创）
余弦定理
一、教材依据：人民教育出版社（A版）数学必修5第一章 第二节
二、设计思想：
1、教材分析：余弦定理是初中“勾股定理”内容的直接延拓，是解三角形这一章知识的一个重要定理，揭示了任意三角形边角之间的关系，是解三角形的重要工具，余弦定理与平面几何知识、向量、三角形有着密切的联系。因此，做好“余弦定理”的教学，不仅能复习巩固旧知识，使学生掌握新的有用的知识，体会联系、发展等辩证观点，而且能培养学生的应用意识和实践操作能力，以及提出问题、解决问题等研究性学习的能力。
2、学情分析：这节课是在学生已经学习了正弦定理及有关知识的基础上，转入对余弦定理的学习，此时学生已经熟悉了探索新知识的数学教学过程，具备了一定的分析能力。
3、设计理念：由于余弦定理有较强的实践性，所以在设计本节课时，创设了一些数学情景，让学生从已有的几何知识出发，自己去分析、探索和证明。激发学生浓厚的学习兴趣，提高学生的创新思维能力。
4、教学指导思想：根据当前学生的学习实际和本节课的内容特点，我采用的是“问题教学法”，精心设计教学内容，提出探究性问
1
题，经过启发、引导，从不同的途径让学生自己去分析、探索，从而找到解决问题的方法。
三、教学目标：
1、知识与技能：
理解并掌握余弦定理的内容，会用向量法证明余弦定理，能用余弦定理解决一些简单的三角度量问题
2．过程与方法：
通过实例，体会余弦定理的内容，经历并体验使用余弦定理求解
三角形的过程与方法，发展用数学工具解答现实生活问题的能力。
3．情感、态度与价值观：
探索利用直观图形理解抽象概念，体会“数形结合”的思想。通过余弦定理的应用，感受余弦定理在解决现实生活问题中的意义。
四、教学重点：
通过对三角形边角关系的探索，证明余弦定理及其推论，并能应用它们解三角形及求解有关问题。
五、教学难点：余弦定理的灵活应用
六、教学流程：
(一)创设情境，课题导入：
1、复习：已知A=300,C=450,b=16解三角形。（可以让学生板练）
2、若将条件C=450改成c=8如何解三角形？
设计意图：把研究余弦定理的问题和平面几何中三角形全等
判定的方法建立联系，沟通新旧知识的联系，引导学生体会量化
1
的思想和观点。
师生活动：用数学符号来表达“已知三角形的两边及其夹角
解三角形”：已知△ABC，BC=a,AC=b,和角C，求解c,B,A
引出课题：余弦定理
（二）设置问题，知识探究
1、探究：我们可以先研究计算第三边长度的问题，那么我们又从那些角度研究这个问题能得到一个关系式或计算公式呢？ 设计意图：期望能引导学生从各个不同的方面去研究、探索得到余弦定理。
师生活动：从某一个角度探索并得出余弦定理
2、①考虑用向量的数量积：如图 A C
设CBa,CAb,ABc,那么，cab
222ccc(ab)(ab)ab2abcosCB
即c
a
b222ab2abcosC,引导学生证明22222 bc2bccosAca2cacosB2
②还
引导学生运用此法来进行证明
3、余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的
和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。
（可以让学生自己总结，教师补充完整）
（三）典型例题剖析：
1、例1：在△ABC中，已知b=2cm,c=2cm,A=1200,解三角形。 教师分析、点拨并板书证明过程
总结：已知三角形的两边和它们的夹角解三角形，基本思路是先由余弦定理求出第三边，再由正弦定理求其余各角。
变式引申：在△ABC中，已知b=5,c=53,A=300,解三角形。
2、探究：余弦定理是关于三角形三边和一个角的一个关系式，把这个关系式作某些变形，是否可以解决其他类型的解三角形问题？
设计意图：（1）引入余弦定理的推论（2）对一个数学式子作某种变形，从而得到解决其他类型的数学问题，这是一种基本的研究问题的方法。
师生活动：对余弦定理作某些变形，研究变形后所得关系式的应用。因此应把重点引导到余弦定理的推论上去，即讨论已知三边求角的问题。
引入余弦定理的推论：cosA=
cosB=acb
2ac222bca2bc2222 , , cosC=abc2ab22
公式作用：（1）、已知三角形三边，求三角。
（2）、若A为直角，则cosA=0，从而b2+c2=a2
若A为锐角，则 cosA>0, 从而b2+c2>a2
若A为钝角，则 cosA﹤0, 从而b2+c2﹤a2
62,求A、B、C例2:已知在ABC中,a23,b22,c
先让学生自己分析、思索，老师进行引导、启发和补充，最后师生一起求解。
总结：对于已知三角形的三边求三角这种类型，解三角形的基本思路是先由余弦定理求出两角，再用三角形内角和定理求出第三角。（可以先让学生归纳总结，老师补充）
变式引申：在△ABC中，a:b:c=2:
让学生板练，师生共同评判
3、三角形形状的判定：
例3：在△ABC中，acosA=bcosB,试确定此三角形的形状。 （教师引导学生分析、思考，运用多种方法求解）
求解思路：判断三角形的形状可有两种思路，一是利用边之间的关系来判定，在运算过程中，尽可能地把角的关系化为边的关系；二是利用角之间的关系来判定，将边化成角。
变式引申：在△ABC中，若（a+b+c）(b+c-a)=3bc,并且sinA=2sinBcosC,判断△ABC的形状。
让学生板练，发现问题进行纠正。
（四）课堂检测反馈：
1、已知在△ABC中，b=8,c=3,A=600,则a=( )
A 2 B 4 C 7 D 9
6:(3+1),求A、B、C。
2、在△ABC中，若a=3+1,b=3-1,c=,则△ABC的最大角的度数为（ ） A 1200 B 900 C 600 D 1500
3、在△ABC中，a:b:c=1:3:2,则A：B：C=（ ）
A 1：2：3 B 2：3：1 C 1：3：2 D 3：1：2
4、在不等边△ABC中，a是最大的边，若a2<b2+c2,则∠A的取值范围是（ ） A（
2，） B（24,2） C（3,2） D（0，）
5、在△ABC中，AB=5，BC=6，AC=8，则△ABC的形状是（ ）
A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D非钝角三角形
（五）课时小结：
（学生自己归纳、补充，培养学生的口头表达能力和归纳概括能力，教师总结）
运用多种方法推导出余弦定理，并灵活运用余弦定理解决解三角形的两种类型及判断三角形的形状问题。
（六）课后作业：课本第10页A组3（2）、4（2）；B组第2题
（七）教学反思：
本堂课的设计，立足于所创设的情境，注重提出问题，引导学生自主探索、合作交流，亲身经历了提出问题、解决问题的过程，学生成为余弦定理的“发现者”和“创造者”，切身感受到了创造的苦和乐，知识目标、能力目标、情感目标均得到了较好的落实。
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